Nhiều nhóm tập hợp một cách đồng thời là nhóm và là ví dụ về cấu trúc toán học cho những nhóm khác. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, chúng là các vật thể nhóm trong một phạm trù, có nghĩa là chúng là các vật thể (tức là làm ví dụ cho những cấu trúc toán học khác) đi kèm với các phép biến đổi (gọi là cấu xạ- morphism) mà bắt chước giống với những tiên đề nhóm. Ví dụ, mọi nhóm (như định nghĩa ở trên) đều là tập hợp, do vậy một nhóm là vật thể nhóm trong phạm trù các tập hợp.

Nhóm tô pô

Đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức với phép nhân số phức là một nhóm Lie, do vậy cũng là nhóm tô pô. Nó có tính tô pô vì phép nhân và chia các số phức có tính liên tục. Nó là một đa tạp và do đó nhóm Lie cũng vậy, bởi vì mỗi mẩu nhỏ, như cung màu đỏ ở hình bên, nhìn giống như đoạn thẳng của một đường thẳng (vẽ ở dưới đường tròn).

Một số không gian tô pô có thể sử dụng với luật nhóm. Để cho luật nhóm và không gian tô pô kết hợp được với nhau, phép toán nhóm phải là hàm liên tục, tức là, g • h, và g−1 phải không thay đổi quá lớn nếu g và h chỉ thay đổi rất ít. Những nhóm này gọi là các nhóm tô pô, và chúng là các vật thể nhóm trong phạm trù các không gian tô pô.[66] Những ví dụ cơ bản nhất là nhóm các số thực R đi kèm với phép toán cộng, (R \ {0}, •), và tương tự với bất kỳ trường tô pô nào như số phức hoặc số p-adic. Mọi nhóm này đều compact địa phương, do đó chúng có độ đo Haar và có thể nghiên cứu chúng thông qua giải tích điều hòa. Lĩnh vực giải tích điều hòa đưa ra hình thức luận trừu tượng cho các phép tích phân bất biến. Tính bất biến có nghĩa là, ví dụ trong trường hợp số thực:

∫ f ( x ) d x = ∫ f ( x + c ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(x+c)\,dx}

với c là hằng số bất kỳ. Nhóm ma trận trên những trường này nằm vào phạm vi này, như đối với vành Adele và nhóm đại số Adele mà chúng là cơ sở đối với lý thuyết số.[67] Nhóm Galois của mở rộng trường vô hạn như nhóm Galois tuyệt đối cũng có thể được trang bị với một tô pô, gọi là tô pô Krull, mà đến lượt là trung tập của sự tổng quát hóa mối liên hệ phác thảo ở trên giữa trường và nhóm của mở rộng trường vô hạn.[68] Tổng quát hóa hơn nữa cho ý tưởng này, nhằm chấp nhận những đòi hỏi của hình học đại số, là nhóm cơ bản Étale.[69]

Nhóm Lie

Nhóm Lie (theo tên nhà toán học Thụy Điển Sophus Lie) là nhóm có thêm cấu trúc đa tạp, tức là chúng là những không gian nhìn trên cục bộ giống như không gian Euclid với chiều thích hợp.[70] Thêm nữa, cấu trúc được đưa vào, mà ở đây là cấu trúc đa tạp, phải là tương thích, tức là ánh xạ tương ứng với phép nhân và phép nghịch đảo phải đảm bảo tính trơn.

Một ví dụ mẫu là nhóm tuyến tính tổng quát giới thiệu ở trên: nó là một tập con mở của không gian chứa mọi ma trận n x n, bởi nó tuân theo bất đẳng thức

det (A) ≠ 0,

với A ký hiệu cho ma trận n x n.[71]

Nhóm Lie có vai trò quan trọng cơ bản trong vật lý hiện đại trong khi định lý Noether liên hệ các đối xứng liên tục với các đại lượng bảo toàn.[72] Phép quay, cũng như phép tịnh tiến trong không gian và thời gian là những đối xứng cơ bản đối với các định luật của cơ học. Chúng có thể được sử dụng, ví dụ, để xây dựng những mô hình đơn giản—hàm ý rằng đối xứng trục trong một số tình huống sẽ giúp các nhà vật lý làm đơn giản đi rất nhiều những phương trình phức tạp giúp họ tìm ra những nghiệm chính xác miêu tả hệ vật lý nhất định, như ở trường hợp các nghiệm Schwarzschild (đối xứng cầu) và nghiệm Kerr (đối xứng trục, bảo toàn động lượng) của phương trình trường Einstein trong thuyết tương đối rộng.v[›] Một ví dụ khác là phép biến đổi Lorentz, nó liên hệ phép đo thời gian với vận tốc của hai quan sát viên chuyển động đều tương đối với nhau. Chúng có thể thu được theo cách của lý thuyết nhóm thuần túy, bằng cách thể hiện phép biến đổi như là đối xứng quay trong không gian Minkowski. Không gian này phục vụ—trong trường hợp bỏ qua ảnh hưởng của trường hấp dẫn—như là mô hình của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp.[73] Nhóm đối xứng đầy đủ của không gian Minkowski, tức là bao gồm cả phép tịnh tiến, được biết đến là nhóm Poincaré. Theo trên, nó đóng vai trò quan trọng trong thuyết tương đối hẹp và cho cả lý thuyết trường lượng tử.[74] Các đối xứng thay đổi theo vị trí là khái niệm trung tâm trong cách miêu tả hiện đại về những tương tác vật lý với sự giúp đỡ của lý thuyết trường chuẩn (gauge theory).[75]